Python，分别用二分法和牛顿迭代法求解一元二次方程。

求解一元二次方程（ax^2 + bx + c = 0）可以使用不同的数值方法，其中包括二分法和牛顿迭代法。以下是这两种方法的详细实现说明和代码示例。

1. 二分法

原理：

• 二分法用于在一个区间内寻找函数的根。它要求函数在区间端点的值具有不同的符号（即，根在这个区间内）。
• 该方法通过不断将区间一分为二来逼近根的位置，直到找到满足精度要求的根。

步骤：

1. 确定一个包含根的区间 [a, b]，确保 f(a) * f(b) < 0。
2. 计算中点 mid = (a + b) / 2。
3. 如果 f(mid) 足够接近 0，或区间 [a, b] 的长度小于设定的精度，停止迭代。
4. 否则，更新区间：
   • 如果 f(a) * f(mid) < 0，则根在 [a, mid] 中。
   • 否则，根在 [mid, b] 中。
5. 重复步骤 2-4，直到达到精度要求。

Python代码示例：

python
复制代码
def quadratic_function(x, a, b, c):
    return a * x**2 + b * x + c

def bisection_method(a, b, func, tol=1e-6, max_iter=100):
    if func(a) * func(b) >= 0:
        raise ValueError("The function has the same signs at endpoints a and b.")
    
    for _ in range(max_iter):
        mid = (a + b) / 2
        f_mid = func(mid)
        
        if abs(f_mid) < tol or (b - a) / 2 < tol:
            return mid
        
        if func(a) * f_mid < 0:
            b = mid
        else:
            a = mid
            
    raise ValueError("The method did not converge.")

# 示例使用
a, b, c = 1, -3, 2  # 例如方程 x^2 - 3x + 2 = 0
root1 = bisection_method(0, 2, lambda x: quadratic_function(x, a, b, c))
print("Root found by bisection method:", root1)

2. 牛顿迭代法

原理：

• 牛顿迭代法（Newton-Raphson Method）是一种求解方程根的迭代方法，它使用函数值和导数值来逐步逼近根的位置。
• 迭代公式为：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)。

步骤：

1. 选择一个初始猜测值 x0。
2. 计算函数值 f(x0) 和其导数值 f'(x0)。
3. 更新猜测值：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)。
4. 如果 |f(x_{n+1})| 小于设定的精度，停止迭代。
5. 否则，重复步骤 2-4。

Python代码示例：

python
复制代码
def derivative(x, a, b):
    return 2 * a * x + b

def newton_method(x0, func, deriv, tol=1e-6, max_iter=100):
    x = x0
    for _ in range(max_iter):
        f_x = func(x)
        f_prime_x = deriv(x)
        
        if abs(f_prime_x) < tol:
            raise ValueError("Derivative near zero, method fails.")
        
        x_new = x - f_x / f_prime_x
        
        if abs(func(x_new)) < tol:
            return x_new
        
        x = x_new
    
    raise ValueError("The method did not converge.")

# 示例使用
a, b, c = 1, -3, 2  # 例如方程 x^2 - 3x + 2 = 0
x0 = 0  # 初始猜测值
root2 = newton_method(x0, lambda x: quadratic_function(x, a, b, c), lambda x: derivative(x, a, b))
print("Root found by Newton's method:", root2)

总结

• 二分法是一种基于区间缩小的逐步逼近方法，适用于保证区间内存在根的情况。它的优点是简单且能保证收敛，但可能需要更多的迭代次数来达到精度要求。
• 牛顿迭代法使用函数和其导数的信息进行迭代，通常收敛速度较快，但需要良好的初始猜测值，且在导数为零时可能失败。

选择合适的方法取决于具体的问题和数据特征。