C语言 亲和数

在 C 语言中，亲和数（Amicable Numbers）是指一对不同的自然数，每个数的真因子之和等于另一个数。换句话说，对于一对亲和数 $a$ 和 $b$，它们满足以下条件：

• $\text{sum\_of\_divisors}(a) = b$
• $\text{sum\_of\_divisors}(b) = a$

其中，sum_of_divisors(n) 表示计算 $n$ 的真因子之和。真因子是指除了 $n$ 自身外，能整除 $n$ 的所有数。

示例

例如，220 和 284 是一对亲和数：

• 220 的真因子：1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110。

• 220 的真因子之和：1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284。

• 284 的真因子：1, 2, 4, 71, 142。

• 284 的真因子之和：1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220。

C 语言实现

以下是一个 C 语言程序示例，用于找出一对亲和数：

c
复制代码
#include <stdio.h>

// 函数：计算给定数的真因子之和
int sum_of_divisors(int num) {
    int sum = 1;  // 1 是所有数的真因子
    for (int i = 2; i <= num / 2; i++) {
        if (num % i == 0) {
            sum += i;
        }
    }
    return sum;
}

// 主函数
int main() {
    int num1, num2;

    // 输入两个数
    printf("请输入两个正整数：\n");
    scanf("%d %d", &num1, &num2);

    // 检查是否为亲和数
    if (num1 != num2 && sum_of_divisors(num1) == num2 && sum_of_divisors(num2) == num1) {
        printf("%d 和 %d 是一对亲和数。\n", num1, num2);
    } else {
        printf("%d 和 %d 不是亲和数。\n", num1, num2);
    }

    return 0;
}

代码解释

1. sum_of_divisors 函数：

   • 计算一个正整数的真因子之和。初始化 sum 为 1（1 是所有正整数的真因子）。
   • 使用 for 循环遍历 2 到 num / 2 的所有数，判断是否能整除 num，如果能则加到 sum 中。
   • 返回计算出的真因子之和。

2. main 函数：

   • 提示用户输入两个正整数。
   • 使用 scanf 函数读取用户输入的两个数。
   • 调用 sum_of_divisors 函数计算两个数的真因子之和，并比较是否符合亲和数的条件。
   • 根据比较结果输出是否为亲和数。

注意事项

• 亲和数是对称的，因此检查 $a$ 和 $b$ 之间的关系时只需要确保 a 和 b 的真因子之和分别等于对方。
• 程序中 sum_of_divisors 函数的时间复杂度是 $O(n)$，其中 n 是待计算的数字，可以通过优化算法来提高效率。
• 该程序适用于处理较小范围内的亲和数。对于更大的范围，可能需要优化算法或使用不同的方法来提高性能。

通过这个示例代码，你可以理解如何在 C 语言中实现亲和数的计算和检查。如果有其他问题或需要进一步的帮助，请告诉我！