C++用泰勒级数求e的近似值直到最后一位小于10^-7

在 C++ 中使用泰勒级数来计算 $e$ 的近似值可以通过以下步骤实现。泰勒级数展开式为：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

当 $x = 1$ 时，这个级数变成：

$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

实现步骤：

1. 定义精度：设定一个精度阈值，例如 $10^{-7}$，即当计算到某一项的绝对值小于 $10^{-7}$ 时停止计算。

2. 累加泰勒级数：

   • 使用循环来累加级数的各项，直到达到设定的精度要求。
   • 计算每一项 $\frac{1}{n!}$，并将其加到总和中。

3. 停止条件：

   • 在每次添加新项之后，检查新添加的项的绝对值是否小于设定的精度 $10^{-7}$。
   • 如果是，则停止循环，并认为当前的总和就是 $e$ 的近似值。

4. 输出结果：

   • 将最终得到的近似值输出。

示例代码：

以下是一个简单的 C++ 实现，使用泰勒级数计算 $e$ 的近似值直到最后一位小于 $10^{-7}$。

cpp
复制代码
#include <iostream>
#include <cmath>

double calculateE() {
    const double epsilon = 1e-7; // 精度设定为 10^-7
    double e = 1.0; // 初始化 e 的近似值为第一项的值
    double term = 1.0; // 当前项的值，即 1/n!

    for (int n = 1; std::fabs(term) >= epsilon; ++n) {
        term /= n; // 计算下一项的值，即 1/n!
        e += term; // 将下一项加到 e 的总和中
    }

    return e;
}

int main() {
    double e_approx = calculateE();
    std::cout << "Approximation of e: " << e_approx << std::endl;
    return 0;
}

解释：

• calculateE 函数中，使用 term 变量来表示当前的泰勒级数的每一项 $\frac{1}{n!}$。
• 循环从 $n = 1$ 开始，每次迭代将 term 更新为 $\frac{1}{n} \times \text{previous\_term}$，并将其加到 e 中。
• 循环继续直到 term 的绝对值小于设定的 epsilon，即 $10^{-7}$。
• 最终输出计算得到的近似值。

这样的实现能够有效地利用泰勒级数逼近 $e$，并根据精度要求进行计算。